快速幂算法 NEU 1391

快速幂算法 NEU 1391

本文是从以前的博客搬运而来 导致阅读效果不好请谅解 Orz

1391: Big Big Power

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题目描述

Calculate the power num a^(b^c) mod 1e9+7

输入

Multiple test cases,each case has three integers a,b and c . a,b,c is less than 1e9;

 

输出

Output the answer in each line

 

样例输入

2 3 2

样例输出

512

这道题的解法是快速幂 和费马小定理 正在研究 这是题解AC代码
1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long LL;
 6 const LL mod = 1000000007;
 7 LL a, b, c;
 8 LL quick_pow(LL base, LL n, LL MOD) {
 9     LL res = 1, u = base;
10     while (n) {
11         if (n&1) {
12             res = res * u % MOD;
13         }
14         u = u * u % MOD;
15         n >>= 1;
16     }
17     return res;
18 }
19 int main()
20 {
21     while (~scanf ("%lld%lld%lld", &a, &b, &c)) {
22         LL k = quick_pow(b, c, mod-1);
23         printf ("%lldn", quick_pow(a, k, mod));
24     }
25     return 0;
26 }
复制代码

快速幂的代码 :

复制代码
 1 #include<stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 
 4 typedef long long LL;
 5 
 6 LL quick_pow(LL a,LL b,LL mod)
 7 {
 8     a=a%mod;
 9     LL ans=1;
10     while(b)
11     {
12         if(b&1) ans=ans*a%mod;              //证明可知 a mod b =a mod b mod b
13         a=a*a%mod;
14         b>>=1;                              //位运算速度快一些
15     }
16     return ans;
17 }
18 
19 int main(void)
20 {
21     LL a,b,mod;
22     while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&mod)==3)
23     {
24         LL ans=quick_pow(a,b,mod);
25         printf("%lldn",ans);
26     }
27     return 0;
28 }
复制代码

 

这个题的AC代码如下 需要用到费马小定理 模幂周期性的知识

 

复制代码
1 #include<stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 
 4 typedef long long LL;
 5 
 6 LL quick_pow(LL a,LL b,LL mod)
 7 {
 8     a=a%mod;
 9     LL ans=1;
10     while(b)
11     {
12         if(b&1) ans=ans*a%mod;              //证明可知 a mod b =a mod b mod b
13         a=a*a%mod;
14         b>>=1;                              //位运算速度快一些
15     }
16     return ans;
17 }
18 
19 int main(void)
20 {
21     LL a,b,c;
22     const LL mod=1000000007;
23     while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c)==3)
24     {
25         LL ans=quick_pow(b,c,mod-1);            //费马小定理 模幂的周期性 a^b^c mod p= a^(b^c mod (p-1))mod p 证明在下面有
26         ans=quick_pow(a,ans,mod);
27         printf("%lldn",ans);
28     }
29     return 0;
30 }
复制代码

 

 

 

下面是手写的整理笔记 当时不会用公式编辑器请谅解:






参考资料在下面:费马小定理的证明

构造素数

的既约剩余系

因为

,由引理3可得

也是p的一个既约剩余系。由既约剩余系的性质,

易知

,同余式两边可约去

,得到

这样就证明了费马小定理。[1]
参考资料 : 数论基本知识 剩余系






参考资料:  快速幂的知识 Word

快速幂取模算法

在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释,这里,我给出快速幂算法的完整解释,用的是C语言,不同语言的读者只好换个位啦,毕竟读C的人较多~

所谓的快速幂,实际上是快速幂取模的缩写,简单的说,就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中,经常要去求一些大数对于某个数的余数,为了得到更快、计算范围更大的算法,产生了快速幂取模算法。我们先从简单的例子入手:求= 几。

算法1.首先直接地来设计这个算法:

int ans = 1;

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中,为O(b.这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大,很容易就会溢出。

那么,我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先有这样一个公式:

.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过,不过这里为了方便大家的阅读,还是给出证明:

引理1:

 

上面公式为下面公式的引理,即积的取余等于取余的积的取余。

 

证明了以上的公式以后,我们可以先让a关于c取余,这样可以大大减少a的大小,

于是不用思考的进行了改进:

算法2:

int ans = 1;

a = a % c; //加上这一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

聪明的读者应该可以想到,既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。

算法3:

int ans = 1;

a = a % c; //加上这一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余

 

}

ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式,我就不证明了。

 

我们可以看到,如果我们在上式中把a = a mod c;改成a=(a*a) mod c;便可以把时间复杂度变成O(b/2),当然,这样子治标不治本,但是,如果我们每次都把a平方一次取余,便可以显著减少要运算的次数,即进行以下的迭代:

 

形如上式的迭代下去后,当b=0时,所有的因子都已经相乘,算法结束。于是便可以在O(logb的时间内完成了。于是,有了最终的算法:快速幂算法。

算法4:快速幂算法

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

 

if(b % 2 = = 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

将上述的代码结构化,也就是写成函数:

int PowerMod(int a, int b, int c)

{

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

 

if(b % 2 = = 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

return ans;

}

本算法的时间复杂度为O(logb),能在几乎所有的程序设计(竞赛)过程中通过,是目前最常用的算法之一。

以下内容仅供参考:

扩展:有关于快速幂的算法的推导,还可以从另一个角度来想。

=? 求解这个问题,我们也可以从进制转换来考虑:

将10进制的b转化成2进制的表达式:

那么,实际上,.

 

所以

 

注意此处的要么为0,要么为1,如果某一项,那么这一项就是1,这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况,为1对应了b是奇数的情况(不要搞反了哦,读者自己好好分析,可以联系10进制转2进制的方法),我们先计算依次到中的项。计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余,为0项时ans不用再算,为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的,读者可以自行分析,这里我说不多说了,希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点,当然,要真正的掌握,不多练习是不行的。

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